Black-Scholes 期权定价 & 希腊字母 — 免费在线工具

Black-Scholes 期权定价 & 希腊字母是 CintaBox 芯塔盒在线工具箱提供的免费在线工具：填标的价、行权价、到期时间、无风险利率、波动率、股息率 + 看涨/看跌 → 用 Black-Scholes 模型算欧式期权理论价、希腊字母(Delta 方向暴露 / Gamma / Vega 波动率敏感 / Theta 时间损耗 / Rho 利率敏感)、内在价值与时间价值;也可反过来由期权市场价反解隐含波动率(IV)。期权交易、做市、风控、备兑开仓评估的核心工具 —— 定价含正态分布 CDF 与对数指数、隐含波动率还要对价格求根(牛顿+二分),AI 在对话里给的期权价/希腊字母/IV 经常不准且不可复现,确定性引擎才可信。纯浏览器本地, 0 vendor, 不上传。不构成投资建议。 ⛔ v0.2 补上**美式期权**（CRR 二叉树，800 层 + 相邻层取平均 + 以欧式闭式解做控制变量）。v0.1 只算欧式，脚注写一句「美式期权未建模」就完了 —— 那句话不假，但用户读成「差别不大」。实测**少报最多 52.37%**：深实值看跌 r=8% 两年期，BS 报 26.25 而真值 40.00（已到立即行权区）；深实值看涨 q=6% 两年期少报 28.47%；平值看跌一年期少报 9.27%。界面单列「欧式闭式解 / 提前行权溢价 / 比 BS 多百分之多少」，并在立即行权最优时明确提示。⭐ 不分红的看涨按 Merton 定理永远不该提前行权，此时溢价**恰好为 0**（控制变量法保证，裸减法只会给出 1e-4 的离散化噪声，界面就会印出一个凭空的「溢价 0.0001」）。数值精度：220 组随机横扫对照 6000 层，**最大绝对误差 0.0023、最大相对误差 0.073%**，故美式价只显示到 3 位小数。 ⛔⛔ v0.2 修掉「Theta 每日」这处**会让买方低估一半损耗**的口径错误。年化 Theta ÷ 365 是**切线斜率**，不是一天走完的落差。实测平值看涨：剩 1 年两者差 0.0%、剩 90 天差 0.2%、剩 7 天差 3.4%、**到期前一天线性口径 0.2157 而真实损耗 0.4245，少报 49.2%**。现在单列「持有一天损耗」（把日期减一天原地重新定价，标的与波动率都不动），并在两者差 ≥5% 时红字提示别再用 Theta÷365。⭐ 长期夹具完全看不出这个缺陷 —— 必须挑临近到期才量得到。 ⛔⛔ v0.2 修掉**美式合约的隐含波动率被系统性报高**。拿美式市场价套欧式公式反解，实测真 σ=20% 会被报成：平值看跌 21.38%（+6.9%）、实值看跌 26.27%（+31.3%）、**深实值看跌 50.41%（+152.1%）**、高股息看涨 23.86%（+19.3%）。⚠️ 只有「不分红的看涨」两者一致，而那恰好是最常拿来做往返验证的夹具 —— 这个缺陷在测试里是看不见的。现在美式走二叉树二分反解（200 层，实测 σ 误差 0.017%）。⭐ 更要紧的一条：**深度实值的美式期权落在立即行权区里，价格恒等于内在价值、对波动率完全不敏感，波动率根本反解不出来** —— 二分照样会吐出一个数（实测 5.44%，真值 20%，偏 −72.8%）。现在会明说「这张合约反解不出波动率，σ ≤ 某某%%都给出同一个价」，而不是给个数了事。 另外：隐含波动率算出来之后直接回答「按你填的 σ 看这张偏贵还是偏便宜」（v0.1 只印个百分数就没了）；脚注的「已知边界」三条全部换成量出来的数字。Node selfTest 68 → **90/0**，变异 **60 条全红**；375px 实测无横向溢出。 ⛔⛔ v0.3 修掉**欧式隐含波动率会把求根器的初值当答案报出去**。深度实值的欧式期权时间价值可以小到求根器分辨不了，此时任何 σ 都对得上市场价，牛顿第一次迭代的差就已小于 1e-6，直接返回初值 `0.2`。把理论价原样喂回去实测：S=1000/K=100/一年/σ=40% → 报 **20.00%（偏 −50%，那就是初值本身）**；σ=5% → 报 20.00%（偏 +300%）；S=200/K=100/σ=5% → 报 14.34%（偏 +186.8%）。v0.2 只堵了美式那一半。现在两条路都先判「这张合约的波动率测不测得出来」：判据是市场价里**还剩多少时间价值**（相对无套利下界），与求根器自己的价格容差比。⭐ 门槛 1e-5 是**横扫标定**的 —— 4000 组随机欧式往返，1e-6 漏判 29 组（最差 77.9%）、**1e-5 漏判 0 / 假阳性 19**、1e-4 假阳性 90；另一套「σ 不确定度 = 容差÷vega」的判据在漏判归零时假阳性 30，更差，已弃。宁可对 0.5% 的极端合约说「测不出来」，也不把一个硬编码常数当结论。 ⭐ v0.3 把 **d1 / d2 这两个裸数字换成「到期实值概率」**（`N(d2)`）—— `d2 0.15` 对用户没有意义。⛔ 同时写明它是**风险中性口径**（把标的的年化漂移当成无风险利率 r），**不是**你对这只票的收益预期：同一张合约（S=100 K=110 一年 σ=30% r=5%）实测风险中性 **38.17%**，而真实年化漂移 10% 则 44.66%、15% 则 51.29%、−5% 则 26.29% —— **差 25 个百分点**。不说清楚就是在撒谎。 ⭐⭐ v0.3 回答散户的第一问「涨到多少我才回本」——新增**合约乘数**（1 / 100 美股个股 / 10000 沪深 ETF 期权）与**张数**，给出**总权利金**、**到期盈亏平衡点**（买入看涨 = 行权价 + 每份权利金，看跌反之）、标的还要涨/跌百分之多少才回本、以及买方最大亏损（= 总权利金，亏损有限）。v0.1~v0.2 只给「每份多少钱」，而用户手上是**张**不是份。⛔ 平衡点是**到期日**口径且不含权利金的资金占用成本（行业惯例），中途平仓不看这个点 —— 界面已写明。⚠️ 顺带修掉一处安静的默认值：合约乘数用 `Number(x) || 1` 兜底会**把用户填的 0 吞成 1**（0 是 falsy），于是「乘数填 0」不报错还算出一个像模像样的总价。Node selfTest 90 → **101/0**，变异 **71 条全红**；375px 实测无横向溢出。 ⭐⭐ v0.4 新增**持仓盈亏表(标的价 × 日期)** —— 对标 optionsprofitcalculator 的核心输出。工具此前只回答「现在值多少」与「到期在哪一点回本」，而用户真正要看的是「涨到 X、到了 Y 那天，我是赚是亏」。价格档位按 ±1.5 个 σ√T 铺开（不是写死的百分比：波动率高或到期远的合约本来就该看更宽的区间），到期那一列直接用内在价值。可导出 CSV。⛔ **整张表把波动率钉死不动** —— 现实里标的大跌时隐含波动率通常会涨（看跌期权因此跌得比这张表少），所以那不是预测表，界面已写明。⚠️ 日期轴不能无脑等分取整：真机实测「到期前一天」的合约要 5 列时打出的表头是「今天/第0天/第1天/第1天/到期(第1天)」——五列里三列是同一天，每列还都各跑了一遍定价。现在列数先被「剩余整天数+1」夹住再逐列保证严格递增，末列永远是精确的到期时刻。 ⭐ v0.4 **美式期权的希腊字母**改在二叉树上做中心差分（此前显示的是欧式 BS 的值）。差得不小：美式看跌平值一年 delta 差 **−13.2%**、rho 差 **+27.9%**；美式看涨 q=8% delta 差 +15.4%、rho 差 **−39.5%** —— 拿欧式的 rho 做利率对冲是错的。⛔ **Gamma 有意仍取欧式值并标注**：二阶差分上树的离散化噪声不像一阶那样抵消，实测误差随层数**非单调跳动**（200 层 −15.5% / 400 层 +0.3% / 800 层 −3.9%），加层数不收敛，给一个跳来跳去的 Gamma 比不给更糟。⚠️ 这个结论差点写反：最初拿「不分红的美式看涨」当夹具量出「gamma 误差 0.0%，可以做」，而那是**唯一美式恒等于欧式的情形**（Merton 定理），差分实际上作用在闭式解上，整条美式路径根本没走到。换成真有提前行权溢价的合约才量出真相。 ⛔⛔ v0.4 修掉一处**写死的绝对阈值在低价标的上全面失真**。二叉树是**尺度不变**的 —— 同一形态把标的价与行权价一起乘 λ，相对误差纹丝不动（实测 λ 从 0.01 到 100 跨六个数量级，相对误差恒为 **0.00825%**）。而数值容差原本写成绝对值 0.003，只在标定它的那个量级（标的价约 100）上成立：一张 **50ETF 认购**（标的 2.85、期权价 0.0361）上，0.003 是期权价的 **8.3%**，于是一天 0.000862 的真实损耗（占期权价 **2.39%**）被界面判成「低于数值精度，视作 0」，还附赠一句「合约已在立即行权区」的错误解释 —— 整句话语气笃定而前提是假的。现在容差写成无量纲的量（标的价的 0.003%）按价现算，而「视作 0」与「已在立即行权区」也拆成两个独立条件（前者看容差，后者看引擎给的行权判定）。 另外 v0.4 补齐四件套：**四个示例**（沪深 ETF 合约乘数 / 美式少报 9.3% / 到期前一天 Theta÷365 少报一半 / 深度实值反解不出波动率）——每一档配的说明都是真机跑出来的数；**帮助弹窗**写清每一条口径与有意不做的；**复制直链**（⛔ 只带输入不带结果）；**导出盈亏表 CSV**。Node selfTest 101 → **115/0**，变异 **84 条全红**；375px 真机无横向溢出、盈亏表在自己的横滚容器里。无需注册、无需安装软件，打开网页即可使用，处理全程在浏览器本机完成，文件不上传服务器。